Question

下列说法中，正确的有

 

．
①若点P（x₀，y₀）是抛物线y²=2px上一点，则该点到抛物线的焦点的距离是|PF|=x₀+

p

2

；
②设F₁、F₂为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两个焦点，P（x₀，y₀）为双曲线上一动点，∠F₁PF₂=θ，则△PF₁F₂的面积为b²tan

θ

2

；
③设定圆O上有一动点A，圆O内一定点M，AM的垂直平分线与半径OA的交点为点P，则P的轨迹为一椭圆；
④设抛物线焦点到准线的距离为p，过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则

1

|AF|

、

1

p

、

1

|BF|

成等差数列．

Answer 1

分析：①根据抛物线的定义进行判断．②根据双曲线的定义和性质以及三角形的面积公式进行判断．③根据椭圆的定义和性质进行判断．④根据抛物线的定义以及等差数列的定义进行判断．

解答：①抛物线的准线方程为x=-

p

2

，根据抛物线的定义可知，|PF|等于P到准线的距离即|PF|=x₀+

p

2

，∴①正确．
②设|PF₁|=x，|PF₂|=y，（不妨设x＞y），则x-y=2a，由余弦定理得|F₁F₂|²=x²+y²-2xycosθ，
即4c²=（x-y）²+2xy-2xycosθ，
∴4c²=4a²+xy（2-2cosθ），即xy=

4b2

2-2cosθ

，
∴△PF₁F₂的面积为

1

2

xysinθ=

1

2

×

4b2

2-2cosθ

×sinθ=b 2•

sinθ

1-cosθ

=b²tan

θ

2

，∴②正确．
③根据垂直平分线的性质可得|PM|=|PA|，∴|PO|+|PA|=|PO|+|PM|=|OA|＞|OM|，
即点P到点O和点M的距离之和等于圆的半径|OA|，且|OA|＞|OM|，
根据椭圆的定义可得点P的轨迹是以点O和点M为焦点的椭圆，∴③正确．
④设抛物线方程为y²=2px，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AF|=x1+

p

2

，|BF|=x2+

p

2

，
设过F的直线斜率为k，若k不存在，则|AF|=|BF|=p，此时满足

1

|AF|

、

1

p

、

1

|BF|

成等差数列．
若k存在，则直线AB的方程为y=k（x-

p

2

），代入抛物线方程y²=2px
得k2x2-p(k2+2)x+

k2p2

4

=0，
则x1x2=

p2

4

，x1+x2=

k2p+2p

k2

．
∴

1

|AF|

+

1

|BF|

=

2

2x1+p

+

2

2x2+p

=

4(x1+x2)+4p

(2x1+p)(2x2+p)

=

4×(x1+x2)+4p

4x1x2+2p(x1+x2)+p2

，
=

4?( k2+2 k2 )p+4p

4? p2 4 +2p?( k2+2 k2 )+p2

=

8k2+8

(4k2+4)p2

=

2

p

，
即

1

|AF|

+

1

|BF|

=

2

p

，∴

1

|AF|

、

1

p

、

1

|BF|

成等差数列．正确，∴④正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题主要考查了圆锥曲线的定义和性质，综合性较强，难度较大，考查学生的运算能力．