Question

P（2，1）在圆x²+y²-8x-4y+11=0内，过点P做圆的割线l，交圆于A、B两点．
（1）若|AB|最短，求最短长度及此时直线l的方程；
（2）若|AB|=2

5

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据圆的性质，可得当l⊥CP时，弦AB长最短．求出直线OP的斜率，从而得到l的斜率，利用点斜式列式结合点到直线的距离公式加以计算，即可求出此时直线l的方程；
（2）由|AB|=2

5

结合垂径定理算出圆心到直线l的距离d=2，再分直线l的斜率是否存在进行分类讨论，由点斜式方程结合点到直线的距离公式建立关于直线l斜率k的方程，解之即可得到所求直线l的方程．

解答：解：（1）由圆方程x²+y²-8x-4y+11=0，可得圆心C（4，2），半径r=3
当l⊥CP时，弦AB长最短
此时k_cp=

1-0

2-0

=

1

2

，可得k_l=

-1

kOP

=-2
∴直线l的方程为y-1=-2（x-2）即2x+y-5=0
∵圆心C到l的距离d=

|8+2-5|

5

=

5

∴|AB|=2

r2-d2

=2

9-5

=4．…（7分）
（2）∵|AB|=2

5

，
∴圆心到直线的距离d=

r2- 1 4 |AB|2

=

9-5

=2
当l的斜率存在时，设l为方程为y-1=k（x-2）
可得

|2k-1|

k2+1

=2，解之得k=-

3

4

，可得直线l方程为3x+4y-10=0
当l的斜率不存在时，l方程为x=2也符合题意
综上所述，直线l的方程是x=2或3x+4y-10=0（14分）

点评：本题给出经过定点的直线，求直线被圆截得弦长最短时直线的方程．着重考查了圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．