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(2012•江苏一模)已知函数f(x)=
x+
1
2
,x∈[0,
1
2
)
2x-1,x∈[
1
2
,2)
若存在x1,x2,当0≤x1<x2<2时,f(x1)=f(x2),则x1f(x2)的取值范围是
[
2-
2
4
1
2
[
2-
2
4
1
2
分析:先作出函数图象然后根据图象可得要使存在x1,x2,当0≤x1<x2<2时,f(x1)=f(x2)则必有0≤x1
1
2
且x+
1
2
在[0,
1
2
)的最小值大于等于2x-1在[
1
2
,2)的最小值从而得出x1的取值范围然后再根据x1f(x2)=x1f(x1)=x12+
1
2
x1
即问题转化为求y=x12+
1
2
x1
在x1的取值范上的值域.
解答:解:作出函数f(x)=
x+
1
2
,x∈[0,
1
2
)
2x-1,x∈[
1
2
,2)
的图象:
∵存在x1,x2,当0≤x1<x2<2时,f(x1)=f(x2
∴0≤x1
1
2

∵x+
1
2
在[0,
1
2
)上的最小值为
1
2
;2x-1在[
1
2
,2)的最小值为
2
2

∴x1+
1
2
2
2
,x1
2
- 1
2

2
- 1
2
≤x1
1
2

∵f(x1)=x1+
1
2
,f(x1)=f(x2
∴x1f(x2)=x1f(x1)=x12+
1
2
x1

令y=x12+
1
2
x1
2
- 1
2
≤x1
1
2

∴y=x12+
1
2
x1
为开口向上,对称轴为x=-
1
4
的抛物线
∴y=x12+
1
2
x1
在区间[
2
- 1
2
1
2
)上递增
∴当x=
2
- 1
2
时y=
2-
2
4

当x=
1
2
时y=
1
2

∴y∈[
2-
2
4
1
2

即x1f(x2)的取值范围为[
2-
2
4
1
2

故答案为[
2-
2
4
1
2
点评:本题主要考查了利用一元二次函数的单调性求函数的值域,属常考题,较难.解题的关键是根据函数的图象得出x1的取值范围进而转化为y=x12+
1
2
x1
在x1的取值范上的值域即为所求同时一元二次函数的单调性的判断需考察对称轴与区间的关系这要引起重视!
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点,椭圆的右准线与x轴交于点M,若△PQM为正三角形,则椭圆的离心率等于
3
3
3
3

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13=1,
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13+23+33+43=100

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[
n(n+1)
2
]2
[
n(n+1)
2
]2
(n∈N*).

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