Question

（2012•珠海一模）在平面直角坐标系中，已知两圆C₁：（x-1）²+y²=25和C₂：（x+1）²+y²=1，动圆在C₁内部且和圆C₁相内切并和圆C₂相外切，动圆圆心的轨迹为E．
（1）求E的标准方程；
（2）点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|²+|PF|²的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据两圆外切和内切的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为r，消去r，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心D的轨迹，进而可求其方程．
（2）解法一：首先有点P在E上，根据椭圆的参数方程表示出P的坐标，再表达出|PE|，|PO|，利用三角函数的性质，从而求出最大值；
解法二：设P（x，y），x∈[-3，3]，先利用x，y表示出|PO|²+|PF|²=2x²-2x+2y²+1，再利用点P（x，y）满足

x2

9

+

y2

8

=1，将原式化成|PO|²+|PF|²=

2

9

(x-

9

2

)2+

25

2

，最后利用二次函数的性质即可求出|PO|²+|PF|²的最小值．

解答：解：（1）设动圆圆心D（x，y），半径为r，由题意，动圆内切于圆C₁，且和圆C₂相外切，
∵|DC₁|=5-r，|DC₂|=1+r，
∴|DC₁|+|DC₂|=6＞|C₁C₂|=2
∴D点的轨迹图形E是C₁、C₂为焦点的椭圆    （3分）
其中2a=6，c=1，
∴a=3，b²=a²-c²=8（4分）
∴D点的轨迹图形E：

x2

9

+

y2

8

=1（6分）
（2）解法一：由题设知F（1，0），
∵P在E上
∴设P(3cosθ，2

2

sinθ)，θ∈[0，2π]（8分）
则|PF|²=(3cosθ-1)2+(2

2

sinθ)2=9cos²θ-6cosθ+1+8sin²θ=cos²θ-6cosθ+9（9分）
|PO|²=(3cosθ)2+(2

2

sinθ)2=cos2θ+8（10分）
∴|PF|2+|PO|2=2cos2θ-6cosθ+17=2(cosθ-

3

2

)2+

25

2

（12分）
∵cosθ∈[-1，1]，
∴当cosθ=1时，|PO|²+|PF|²的最小值为13．（14分）
解法二：设P（x，y），x∈[-3，3]，（7分）
则|PO|²=x²+y²，（8分）|PF|²=（x-1）²+y²（9分）
∴|PO|²+|PF|²=2x²-2x+2y²+1（10分）
点P（x，y）满足

x2

9

+

y2

8

=1，
∴y2=8(1-

x2

9

)，（11分）
∴|PO|²+|PF|²=

2

9

(x-

9

2

)2+

25

2

（12分）
∵x∈[-

2

，

2

]，
∴当x=3时，|PO|²+|PF|²的最小值为13．（14分）

点评：本题主要考查两圆的位置关系及判定方法和椭圆的定义、标准方程，椭圆的参数方程，考查最值问题．