【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的极值;
(Ⅱ)求证:当时,;
(Ⅲ)当时,若曲线在曲线的上方,求实数a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)极大值1,无极小值;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)求导,列出随x的变化,和的情况表,进而求得极值;
(Ⅱ)令(),求导,由得,则,进而得出函数的单调性,由此得证;
(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)知符合题意,再令,分及均可判断不合题意,进而得出实数a的取值范围.
(Ⅰ)因为,定义域,所以.令,解得.
随x的变化,和的情况如下:
x | 0 | ||
0 | |||
增 | 极大值 | 减 |
由表可知函数在时取得极大值,无极小值;
(Ⅱ)证明:令(),
.
由得,于是,故函数是上的增函数.
所以当时,,即;
(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)知,满足题意.
令,.
当时,若,,则在上是减函数.
所以时,,不合题意.
当时,,则在上是减函数,所以,不合题意.
综上所述,实数a的取值范围.
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【题目】现有边长均为1的正方形正五边形正六边形及半径为1的圆各一个,在水平桌面上无滑动滚动一周,它们的中心的运动轨迹长分别为,,,,则( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,在四棱锥中,ABCD为菱形,平面ABCD,连接AC,BD交于点O,,,E是棱PC上的动点,连接DE.
(1)求证:平面平面;
(2)当面积的最小值是4时,求此时点E到底面ABCD的距离.
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【题目】如图,直线PQ与⊙O相切于点A,AB是⊙O的弦,∠PAB的平分线AC交⊙O于点C,连结CB,并延长与直线PQ相交于点Q,若AQ=6,AC=5.
(Ⅰ)求证:QC2﹣QA2=BCQC;
(Ⅱ)求弦AB的长.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)直线与轴的交点为,经过点的直线与曲线交于两点,若,求直线的倾斜角.
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【题目】试在①,②,③三个条件中选两个条件补充在下面的横线处,使得面ABCD成立,请说明理由,并在此条件下进一步解答该题:
如图,在四棱锥中,,底ABCD为菱形,若__________,且,异面直线PB与CD所成的角为,求二面角的余弦值.
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【题目】如图(1),在等腰直角中,斜边,D为的中点,将沿折叠得到如图(2)所示的三棱锥,若三棱锥的外接球的半径为,则_________.
图(1) 图(2)
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【题目】农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽籺,俗称“粽子”,古称“角黍”,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的体积为____;若该六面体内有一球,则该球体积的最大值为____.
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