Question

【题目】现有边长均为1的正方形正五边形正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，，，，则（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2π的弧长，设半径分别为r1，r2，r3，r4，则半径为中心与顶点的距离，由正方形、正五边形、正六边形得几何特征可知，r1＜r2＜1，r3＝r4＝1，再利用弧长公式即可得到l1＜l2＜l3＝l4．

解：由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2π的弧长，

设半径分别为r1，r2，r3，r4，由题意可知，半径为中心与顶点的距离，

又因为正方形、正五边形、正六边形的边长均为1，圆的半径为1，

对于正方形，如图所示：，∵∠AOB＝90°，∴；

对于正五边形，如图所示：，∵∠AOB＝72°＜90°，∠OAB＝∠OBA＝54°＜72°，∴r1＜r2＜1；

对于正六边形，如图所示：，∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∴r3＝OA＝1；

而 r4＝1，

又因为l1＝2πr1，l2＝2πr2，l3＝2πr3，l4＝2πr4，

所以l1＜l2＜l3＝l4，

故选：B．