Question

【题目】如图，在三棱台中，分别为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若平面,，

，求平面与平面所成角（锐角）的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）

【解析】

试题（Ⅰ）思路一：连接，设，连接，先证明，从而由直线与平面平行的判定定理得平面；思路二：先证明平面平面，再由平面与平面平行的定义得到平面.

（Ⅱ）思路一：连接，设，连接，证明两两垂直, 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作于点，作于点，连接，证明即为所求的角，然后在三角形中求解.

试题解析：

（Ⅰ）证法一：连接，设，连接，

在三棱台中，

为的中点

可得

所以四边形为平行四边形

则为的中点

又为的中点

所以

又平面平面

所以平面．

证法二：

在三棱台中，

由为的中点

可得

所以四边形为平行四边形

可得

在中，为的中点，为的中点，

所以

又，所以平面平面

因为平面

所以平面

（Ⅱ）解法一：

设，则

在三棱台中，

为的中点

由，

可得四边形为平行四边形，

因此

又平面

所以平面

在中，由，是中点，

所以

因此两两垂直,

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

所以

可得

故

设是平面的一个法向量，则

由可得

可得平面的一个法向量

因为是平面的一个法向量，

所以

所以平面与平面所成的解（锐角）的大小为

解法二：

作于点，作于点，连接

由平面，得

又

所以平面

因此

所以即为所求的角

在中,

由∽

可得

从而

由平面平面

得

因此

所以

所以平面与平面所成角（锐角）的大小为.