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    【题目】已知函数，，是的导函数.

    （1）若，求在处的切线方程；

    （2）若在可上单调递增，求的取值范围；

    （3）求证：当时在区间内存在唯一极大值点.

    【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析

    【解析】

    （1）对函数进行求导，利用导数的几何意义进行求解即可；

    （2）求函数进行求导，让导函数大于或等于零，进行常变量分离，构造新函数，然后利用导数求出新构造函数单调性，最后求出的取值范围；

    （3）对再求导，求出该函数的单调性，进而证明函数有唯一极大值点即可.

    解：（1）∵，

    ，又

    ∴在处的切线方程为；

    （2）∵∴

    令，，则

    ∵，，∴，

    ∴在上单调递减，∴，

    （3）∵

    ∴令，

    ∴，

    显得在上单调递减，而

    得，

    取，则

    故存在使

    即在上单调递增，在上单调递减

    也即为的极大值点

    所以当时，在区间内存在唯一极大值点.

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