[题目]已知椭圆方程为.左.右焦点分别为.上顶点为A.是面积为4的直角三角形.(1)求椭圆的标准方程,(2)过作直线与椭圆交于P.Q两点.若.求面积的取值范围. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知椭圆方程为，左，右焦点分别为，上顶点为A，是面积为4的直角三角形.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过作直线与椭圆交于P，Q两点，若，求面积的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由是面积为4的等腰直角三角形，可得，结合三角形的面积公式解方程可得，求得，进而得到所求椭圆方程；

（2）过直线分斜率存在和不存在分别求解，当斜率存在时设直线方程设为，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及向量数量积的坐标表示，结合条件可得的范围，再由三角形的面积公式可得的面积，结合运用韦达定理，可得所求范围.

解：（1）由已知可得等腰直三角形，则

，解得，.

所以椭圆的标准方程方程为.

（2）设，.

①当直线斜率k不存在时

，，，

这与不符.

②当直线斜率k存在时

可设直线的方程为，联立方程，

代入化归消元得，

所以，.

则

，

点到直线的距离.

所以的面积

设，则，.

因为，所以，

所以.

综上所述，面积的取值范围是.

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