【题目】如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.
(1)证明:BC⊥平面ACFE;
(2)设点M在线段EF上运动,平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ,求cosθ的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)证明BC⊥AC.通过平面ACFE⊥平面ABCD,推出BC⊥平面ACFE.
(2)分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的如图所示的空间直角坐标系,求出平面MAB的一个法向量,平面FCB的一个法向量,利用空间向量的数量积求解即可.
(1)证明:在梯形ABCD中,因为AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°
所以AB=2,所以AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3,
所以AB2=AC2+BC2,所以BC⊥AC.
因为平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,
因为BC平面ABCD,所以BC⊥平面ACFE.
(2)解:由(1)可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的如图所示的空间直角坐标系,
令,则C(0,0,0),
,B(0,1,0),M(λ,0,1).
∴,
.
设(x,y,z)为平面MAB的一个法向量,
由得
,取x=1,则
(1,
,
),
∵(1,0,0)是平面FCB的一个法向量
∴cosθ
∵,∴当λ=0时,cosθ有最小值
,当
时,cosθ有最大值
.
∴.
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【题目】随着运动app和手环的普及和应用,在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象,“日行一万步,健康一辈子”的观念广泛流传.“健步达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友(共500人)的走路步数,并整理成下表:
分组(单位:千步) | ||||||||
频数 | 60 | 240 | 100 | 60 | 20 | 18 | 0 | 2 |
(1)请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表);
(2)若用表示事件“走路步数低于平均步数”,试估计事件
发生的概率;
(3)若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”,小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人共有300人,其中健步达人恰有150人,请填写下面列联表.根据列联表判断,有多大把握认为,健步达人与年龄有关?
健步达人 | 非健步达人 | 合计 | |
40岁以上 | |||
不超过40岁 | |||
合计 |
附:.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知椭圆方程为,左,右焦点分别为
,上顶点为A,
是面积为4的直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过作直线与椭圆交于P,Q两点,若
,求
面积的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,
为抛物线
上不同的两点,且
,点
且
于点
.
(1)求的值;
(2)过轴上一点
的直线
交
于
,
两点,
在
的准线上的射影分别为
,
为
的焦点,若
,求
中点
的轨迹方程.
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【题目】已知椭圆的离心率
,椭圆C的上、下顶点分别为A1,A2,左、右顶点分别为B1,B2,左、右焦点分别为F1,F2.原点到直线A2B2的距离为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)P是椭圆上异于A1,A2的任一点,直线PA1,PA2,分别交x轴于点N,M,若直线OT与以MN为直径的圆G相切,切点为T.证明:线段OT的长为定值,并求出该定值.
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【题目】为了促进我国人口均衡发展,从2016年1月1日起,全国统一实施全面放开二孩政策,这也是为了重建大国人口观,重新认识人口价值、人口规律、人口问题,某研究机构为了了解人们对全面放开生育二孩政策的态度,随机调查了200人,得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示(单位:人):
支持生育二孩 | 不支持生育二孩 | 合计 | |
男性 | 30 | ||
女性 | 60 | 100 | |
合计 | 70 |
(1)完成2×2列联表,并求是否有90%的把握认为是否“支持生育二孩”与性别有关?
(2)现从样本中的女性中利用分层抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机选出2人进行深层次的交流,求选出的2人中至少有1人“支持生育二孩”的概率.
参考公式:,其中
.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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