【题目】已知函数.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)判断函数的零点的个数,并说明理由;
(3)设是
的一个零点,证明曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线.
【答案】(1)(2)
有且仅有两个零点,详见解析(3)证明见解析
【解析】
(1)根据导数的几何意义可求得结果;
(2)根据单调性和零点存在性定理可得在
和
上各有唯一一个零点,由此可得答案;
(3)根据导数的几何意义求出曲线在点
处的切线为
,设曲线
在点
处的切线斜率为
,根据导数的几何意义求出切线方程为
,根据
是
的一个零点,可证两条切线重合.
(1)因为,
所以,
,
.
所以曲线在点
处的切线的方程为
.
(2)函数有且仅有两个零点.理由如下:
的定义域为
.
因为,
所以在
和
上均单调递增.
因为,
,
所以在
上有唯一零点
.
因为,
,
所以在
上有唯一零点
.
综上,有且仅有两个零点.
(3)曲线在点
处的切线方程为
,即
.
设曲线在点
处的切线斜率为
,
则,
,
,即切点为
.
所以曲线在点
处的切线方程为
,即
.
因为是
的一个零点,所以
.
所以.
所以这两条切线重合.
所以结论成立.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,上顶点为A,过
的直线
与y轴交于点M,满足
(O为坐标原点),且直线l与直线
之间的距离为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在直线上是否存在点P,满足
?存在,指出有几个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,请说明理由.
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【题目】某购物网站开展一种商品的预约购买,规定每个手机号只能预约一次,预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下:(ⅰ)摇号的初始中签率为;(ⅱ)当中签率不超过
时,可借助“好友助力”活动增加中签率,每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加
.为了使中签率超过
,则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.
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【题目】《九章算术》中“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图1,用对角线将长和宽分别为和
的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图2所示的矩形.该矩形长为
,宽为内接正方形的边长
.由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论,如图3.设
为斜边
的中点,作直角三角形
的内接正方形对角线
,过点
作
于点
,则下列推理正确的是( )
①由图1和图2面积相等得;
②由可得
;
③由可得
;
④由可得
.
A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③
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【题目】如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.
(1)证明:BC⊥平面ACFE;
(2)设点M在线段EF上运动,平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ,求cosθ的取值范围.
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【题目】已知曲线的参数方程为
(
为参数),
,
为曲线
上的一动点.
(I)求动点对应的参数从
变动到
时,线段
所扫过的图形面积;
(Ⅱ)若直线与曲线
的另一个交点为
,是否存在点
,使得
为线段
的中点?若存在,求出点
坐标;若不存在,说明理由.
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