【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若在定义域内是增函数,且存在不相等的正实数,使得,证明:.
【答案】(1)当时,在上递增,在上递减;
当时,在上递增,在上递减,在上递增;
当时,在上递增;
当时,在上递增,在上递减,在上递增;
(2)证明见解析
【解析】
(1)对求导,分,,进行讨论,可得的单调性;
(2)在定义域内是是增函数,由(1)可知,,设,可得,则,设,对求导,利用其单调性可证明.
解:的定义域为,
因为,
所以,
当时,令,得,令,得;
当时,则,令,得,或,
令,得;
当时,,
当时,则,令,得;
综上所述,当时,在上递增,在上递减;
当时,在上递增,在上递减,在上递增;
当时,在上递增;
当时,在上递增,在上递减,在上递增;
(2)在定义域内是是增函数,由(1)可知,
此时,设,
又因为,则,
设,则
对于任意成立,
所以在上是增函数,
所以对于,有,
即,有,
因为,所以,
即,又在递增,
所以,即.
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【题目】检验中心为筛查某种疾病,需要检验血液是否为阳性,对份血液样本,有以下两种检验方式:①逐份检验,需要检验次;②混合检验,即将其中(且)份血液样本分别取样混合在一起检验,若检验结果为阴性,这份的血液全为阴性,因而这份血液样本只要检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这份血液究竟哪几份为阳性,再对这份再逐份检验,此时这份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为.
(1)假设有5份血液样本,其中只有2份样本为阳性,若采用逐份检验方式,求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率;
(2)现取其中(且)份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为点.当时,根据和的期望值大小,讨论当取何值时,采用逐份检验方式好?
(参考数据:,,,,,.)
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【题目】现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件,若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具,则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】(1)已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,求常数a,b的值;
(2)设函数g(x)=x3-6x+5,x∈R. 若关于x的方程g(x)=m有三个不同的实根,求实数m的取值范围.
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【题目】随着运动app和手环的普及和应用,在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象,“日行一万步,健康一辈子”的观念广泛流传.“健步达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友(共500人)的走路步数,并整理成下表:
分组(单位:千步) | ||||||||
频数 | 60 | 240 | 100 | 60 | 20 | 18 | 0 | 2 |
(1)请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表);
(2)若用表示事件“走路步数低于平均步数”,试估计事件发生的概率;
(3)若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”,小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人共有300人,其中健步达人恰有150人,请填写下面列联表.根据列联表判断,有多大把握认为,健步达人与年龄有关?
健步达人 | 非健步达人 | 合计 | |
40岁以上 | |||
不超过40岁 | |||
合计 |
附:.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】在平面直角坐标系中,为抛物线上不同的两点,且,点且于点.
(1)求的值;
(2)过轴上一点 的直线交于,两点,在的准线上的射影分别为,为的焦点,若,求中点的轨迹方程.
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【题目】直角坐标系xOy中,椭圆(a>b>0)的短轴长为,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率为1且经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于P1、P2两点,P是椭圆上任意一点,若(λ,μ∈R),证明:λ2+μ2为定值.
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