Question

已知数列{a_n}满足a₁=，a_n=（n≥2，n∈N*）．
（1）证明：数列{+（-1）ⁿ}是等比数列．
（2）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）=（-1）ⁿ-，∴+（-1）ⁿ=（-2）[+（-1）^n-1]
∴数列{+（-1）ⁿ}是以+（-1）=3为首项，公比为-2的等比数列．
∴+（-1）ⁿ=3（-2）^n-1，即a_n=．
（Ⅱ）b_n=（3×2^n-1+1）²=9×4^n-1+6×2^n-1+1．
∴S_n=9×+6×+n=3×4ⁿ+6×2ⁿ+n-9．
分析：（Ⅰ）由题设条件能够导出+（-1）ⁿ=（-2）[+（-1）^n-1]，由此可知数列{+（-1）ⁿ}是以+（-1）=3为首项，公比为-2的等比数列．
（Ⅱ）b_n=（3×2^n-1+1）²=9×4^n-1+6×2^n-1+1．由此可求出数列{b_n}的前n项和S_n．
点评：本题考查数列的递推公式和数列的求和，解题时要注意数列求和的方法总结和公式的合理运用．