Question

已知函数f（x）=-x²+8x，
（Ⅰ）求f（x）在区间[0，5]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在实数m，n（m＜n），使函数f（x）在[m，n]上的值域是[4m，4n]，若存在，求出m，n；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 当x∈[0，5]时，根据二次函数f（x）=-x²+8x=-（x-4）²+16，利用二次函数的性质求得函数的最值．
（Ⅱ）假设存在实数m，n（m＜n），使函数f（x）在[m，n]上的值域是[4m，4n]，则f（x）在区间[m，n]上单调递增，故有

n≤4 m＜n f(m)=-m2+8m=4m f(n)=-n2+8n=4n

．解得m、n的值，
从而得出结论．

解答：解：（Ⅰ）∵当x∈[0，5]时，二次函数f（x）=-x²+8x=-（x-4）²+16，显然函数在[0，4]上单调递增，在[4，5]上单调递减，
故当x=4时，函数取得最大值为16，当x=0时，函数取得最小值为0．
（Ⅱ）假设存在实数m，n（m＜n），使函数f（x）在[m，n]上的值域是[4m，4n]，
则f（x）在区间[m，n]上单调递增，故有

n≤4 m＜n f(m)=-m2+8m=4m f(n)=-n2+8n=4n

．
解得

m=0 n=4

，故存在m=0、n=4，满足条件．

点评：本题主要考查二次函数的性质，求二次函数在闭区间上的最值，属于中档题．