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设函数
(1)求函数y=T(x2)和y=(T(x))2的解析式;
(2)是否存在实数a,使得T(x)+a2=T(x+a)恒成立,若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由;
(3)定义Tn+1(x)=Tn(T(x)),且T1(x)=T(x),(n∈N*
①当时,求y=T4(x)的解析式;
已知下面正确的命题:当时(i∈N*,1≤i≤15),都有恒成立.
②若方程T4(x)=kx恰有15个不同的实数根,确定k的取值;并求这15个不同的实数根的和.
【答案】分析:(1)先考虑讨论x2大小,然后把x2代入已知函数解析式中可求y=T(x2),对已知所给函数解析式直接进行平方可求y=(T(x))2的解析式;
(2)分别求出T(x)+a2与T(x+a),代入使其对应项相等即可建立关于a的方程,可求

(3))①当时,根据函数定义域的要求可知,,结合此规律寻求函数的递推规律可求故有
②由①可知当时,有T4(x)=16x,根据命题的结论可得,,代入可求,同理归纳可求
解答:解:(1)函数
函数…4分
(2)
…6分
则当且仅当a2=2a且a2=-2a时,即a=0.
综上可知当a=0时,有T(x)+a2=T(x+a)=T(x)恒成立.…8分
(3)①当时,对于任意的正整数j∈N*,1≤j≤3,
都有,故有 .…13分
②由①可知当时,有T4(x)=16x,根据命题的结论可得,
时,
故有
因此同理归纳得到,当(i∈N,0≤i≤15)时,…15分
时,解方程T4(x)=kx得,
要使方程T4(x)=kx在x∈[0,1]上恰有15个不同的实数根,
则必须解得
方程的根(n∈N*,1≤n≤15)…17分
这15个不同的实数根的和为:S=x1+x2+…+x14+x15=.…18分.
点评:本题以新定义为载体,主要考查了函数知识的综合应用,及逻辑推理、分析与运算的综合能力
练习册系列答案
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设定义在R上的函数f(x)=a0x4+a1x3+a2x+a3(a0,a1,a2,a3∈R),当x=-1时,f(x)取极大值
2
3
,且函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称.
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)试在函数y=f(x)的图象上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在[-
2
2
]
上;
(Ⅲ)设xn∈[
1
2
,1)
ym∈(-
2
,-
2
3
2
]
,求证:|f(xn)-f(ym)|<
4
3

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数y=1-
2x+1-n
x2+x+1
(n∈N*)的最小值为an,最大值为bn,又Cn=3(an+bn)-9
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求
lim
n→∞
C1+C2+…+Cn
Cn
(n∈N*)的值
(3)设Sn=
1
C1
+
1
C2
+…+
1
Cn
dn=S2n+1-Sn
,是否存在最小的整数m,使对任意的n∈N*都有dn
m
25
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

设函数数学公式
(1)求函数y=T(sin(数学公式x))和y=sin(数学公式T(x))的解析式;
(2)是否存在非负实数a,使得aT(x)=T(ax)恒成立,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
(3)定义Tn+1(x)=Tn(T(x)),且T1(x)=T(x),(n∈N*
①当x∈[0,数学公式]时,求y=Tn(x)的解析式;
已知下面正确的命题:当x∈[数学公式数学公式](i∈N*,1≤i≤2n-1)时,都有Tn(x)=Tn数学公式-x)恒成立.
②对于给定的正整数m,若方程Tm(x)=kx恰有2m个不同的实数根,确定k的取值范围;若将这些根从小到大排列组成数列{xn}(1≤n≤2m),求数列{xn}所有2m项的和.

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科目:高中数学 来源:2013年上海市浦东新区高考数学一模试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

设函数
(1)求函数y=T(sin(x))和y=sin(T(x))的解析式;
(2)是否存在非负实数a,使得aT(x)=T(ax)恒成立,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
(3)定义Tn+1(x)=Tn(T(x)),且T1(x)=T(x),(n∈N*
①当x∈[0,]时,求y=Tn(x)的解析式;
已知下面正确的命题:当x∈[](i∈N*,1≤i≤2n-1)时,都有Tn(x)=Tn-x)恒成立.
②对于给定的正整数m,若方程Tm(x)=kx恰有2m个不同的实数根,确定k的取值范围;若将这些根从小到大排列组成数列{xn}(1≤n≤2m),求数列{xn}所有2m项的和.

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