Question

5．一个正四棱锥和一个正方体，它们有半径相同的内切球，记正四棱锥的体积为V₁，正方体体积为V₂，且V₁=kV₂，则实数k的最大值为$\frac{64}{81}$．

Answer 1

分析 求出正四棱锥体积，利用基本不等式求出最大值，即可得出结论．

解答 解：设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，则x²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²=R²，
而正四棱锥的高为h=R+x，故正四棱锥体积为V₁=$\frac{1}{3}x{a}^{2}h$=$\frac{2}{3}$（R²-x²）（R+x）（x∈（0，R），
∵$\frac{2}{3}$（R²-x²）（R+x）=$\frac{1}{3}$（2R-2x）（R+x）（R+x）≤$\frac{1}{3}$×$[\frac{（2R-2x）+（R+x）+（R+x）}{3}]^{3}$=$\frac{64}{81}{R}^{3}$，
当且仅当x=$\frac{1}{3}$R时，等号成立，
∴正四棱锥的体积的最大值为$\frac{64}{81}{R}^{3}$，
∵V₁=kV₂，V₂=R³
∴k=$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$≤$\frac{64}{81}$，
∴实数k的最大值为$\frac{64}{81}$．

点评 本题考查正四棱锥的体积，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．