Question

已知数列{a_n}满足a₁=

3

2

，a_n=2-

1

an-1

（n≥2），S_n是数列{b_n}的前n项和，且有

Sn

2

=1+

n-1

n

b_n．
（1）证明：数列{

1

an-1

}为等差数列；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=

an

bn

，记数列{c_n}的前n项和T_n，求证：T_n＜1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列,不等式

分析：（1）化简a_n=2-

1

an-1

，化出

1

an-1

的形式，（2）由a_n=s_n-s_n-1化简，得到递推公式，再推通项公式；（3）利用裂项求和法求和证明不等式成立．

解答： 解：（1）证明：∵an=

2an-1-1

an-1

(n≥2)，
∴an-1=

2an-1-1

an-1

-1=

an-1-1

an-1

，
∴

1

an-1

=

an-1

an-1-1

=

(an-1-1)+1

an-1-1

=

1

an-1-1

+1(n≥2)，
即：∴

1

an-1

-

1

an-1-1

=1(n≥2)．
∴数列{

1

an-1

}是以

1

a1-1

=2为首项，1为公差的等差数列．
（2）当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(2+

2n-2

n

bn)-(2+

2n-4

n-1

bn-1)，
bn=

2n-2

n

bn-

2n-4

n-1

bn-1⇒

bn

n

=

2

n-1

bn-1，
即：

bn

bn-1

=

2n

n-1

(n≥2)；
∴

b2

b1

×

b3

b2

×

b4

b3

×…×

bn

bn-1

=

2×2

1

×

2×3

2

×

2×4

3

×…×

2×n

n-1

⇒

bn

b1

=n?2n-1，
当n=1时，b₁=S₁=2，∴bn=n?2n．
（3）证明：由（1）知：

1

an-1

=2+(n-1)×1=n+1
∴an-1=

1

n+1

，
∴cn=

an

bn

=

n+2

n(n+1)?2n

=

1

n?2n-1

-

1

(n+1)2n

，
∴Tn=

n

i=1

ci=(1-

1

2×21

)+(

1

2×21

-

1

3×22

)+…+(

1

n?2n-1

-

1

(n+1)?2n

)=1-

1

(n+1)?2n

＜1．

点评：本题全面考查了数列的相关知识，有等差数列的证明，也用到了通项与前n项之间的普遍关系，同时考查了裂项求和的方法，属于难题．