Question

已知n∈N^*，数列{d_n}满足d_n＝，数列{a_n}满足a_n＝d₁＋d₂＋d₃＋…＋d_2n.又知数列{b_n}中，b₁＝2，且对任意正整数m，n，.
(1)求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
(2)将数列{b_n}中的第a₁项，第a₂项，第a₃项，…，第a_n项删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c_n}，求数列{c_n}的前2013项和T₂₀₁₃.

Answer 1

（1）a_n＝3n，b_n＝2ⁿ.（2）

(1)∵d_n＝，∴a_n＝d₁＋d₂＋d₃＋…＋d_2n＝＝3n.
又由题知，令m＝1时，则b₂＝＝2²，b₃＝＝2³，…，b_n＝＝2ⁿ，
若b_n＝2ⁿ，则＝2^nm，＝2^mn，所以＝恒成立；
若b_n≠2ⁿ，当m＝1时，＝不成立，所以b_n＝2ⁿ.
(2)由题知将数列{b_n}中的第3项、第6项、第9项…删去后构成的新数列{c_n}中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是b₁＝2，b₂＝4，公比均是8，
T₂₀₁₃＝(c₁＋c₃＋c₅＋…＋c₂₀₁₃)＋(c₂＋c₄＋c₆＋…＋c₂₀₁₂)
＝