Question

如图，已知P是焦距为上一点，过P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于点P₁，P₂，且为坐标原点．
（1）试求当取得最大值时，双曲线C的方程；
（2）设满足条件（1）的双曲线C的两个顶点为A₁，A₂，直线l过定点D（3，0），且与双曲线交于M，N两点（M不为顶点），求证：直线A₁M，A₂N的交点的横坐标为定值．

Answer 1

解：（1）设P（x₀，y₀），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．由，得，
∵点P在双曲线上，则
又∵P₁，P₂在渐近线上．
∴，则=
又a²+b²=c²=8，a²+b²≥2ab，．
当且仅当a=b=2时，S有最大值．所以双曲线C的方程为：x²-y²=4．
（2）设直线l的方程为x-3=ky，M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）．有
∴（k²-1）y²+6ky+5=0（k²-1≠0）．
则∴
A₁M的方程为的方程为
直线A₁M，A₂N的交点H的横坐标x_H满足：
化简得：（x₄y₃+2y₃-x₃y₄+2y₄）x_H=2x₄y₃+4y₃+2x₃y₄-4y₄
即：[2（y₃+y₄）+3（y₃-y₄）]x_H=[4ky₃y₄+6（y₃+y₄）+4（y₃-y₄）]．
故A₁M，A₂N的交点H在直线．
分析：（1）先设P（x₀，y₀），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．代入，找到坐标之间的关系，再把用含三点坐标的式子表示，求范围，根据范围找最大值时对应的a，b，即可得到当取得最大值时，双曲线C的方程．
（2）先设直线l的方程，M，N点坐标，把直线方程代入（1）中所求双曲线C的方程中，求M，N的纵坐标的和与积，再利用两点式求出A₁M，A₂M的方程，联立，求交点，再验证交点横坐标是否为定值．
点评：本题灵活运用了直线与双曲线的关系，求最值，以及判断定植．