Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AB=2．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求点C到平面PAB的距离．

Answer 1

分析 （1）设Q是AD的中点，连接PQ，BQ，通过证明AD⊥平面PBQ，证出AD⊥PB；
（2）利用等体积法，即可求点C到平面PAB的距离．

解答 （1）证明：∵ABCD是菱形，且∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形   
设Q是AD的中点，连接PQ，BQ，则BQ⊥AD，
∵△APD是等边三角形
∴PQ⊥AD，
∵PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PBQ，
∴AD⊥PB；
（2）解：△PAB中，PA=AB=2，PB=$\sqrt{6}$，S_△PAB=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{4-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
设点C到平面PAB的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}h$，
∴h=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查空间直线、平面位置关系的判断，考查点面距离的计算，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．