Question

人们生活水平的提高，越来越注重科学饮食．营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，每天需要同时食用食物A和食物B多少kg？最低花费是多少？

Answer 1

分析：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．

解答：解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总花费为z元，那么
则目标函数为z=28x+21y，且x，y满足约束条件

0.105x+0.105y≥0.075 0.07x+0.14y≥0.06 0.14x+0.07y≥0.06 x≥0，y≥0

，…（3分）
整理

7x+7y≥5 7x+14y≥6 14x+7y≥6 x≥0，y≥0

，…（5分）
作出约束条件所表示的可行域，
如右图所示．…（7分）
将目标函数z=28x+21y变形．
y=

4

3

x+

z

21

．如图，作直线28x+21y=0，当直线平移经过可行域，在过点M处时，y轴上截距

z

21

最小，即此时z有最小值．…（9分）
解方程组

7x+7y=5 14x+7y=6

，得点M的坐标为(

1

7

，

4

7

)．…（11分）
∴每天需要同时食用食物A约

1

7

kg，食物B约

4

7

kg．…（12分）
能够满足日常饮食要求，且花费最低16元．…（13分）

点评：本题考查简单线性规划的应用，用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．