Question

设函数D(x)=

1，x为有理数 0，x为无理数

，则下列结论正确的是

①②③④

（写出所有正确结论的序号）．
①D（x）的定义域为R         
②D（x）的值域为{0，1}
③D（x）是偶函数
④D（x）是周期函数           
⑤D（x）是单调函数．

Answer 1

分析：根据实数分为有理数和无理数，可知①结论正确；由函数值域的定义易知②结论正确；由偶函数定义可证明③结论正确；由函数周期性定义可判断④结论正确，故选C由函数单调性定义，易知⑤结论错误；

解答：解：∵函数D(x)=

1，x为有理数 0，x为无理数

，{有理数}∪{无理数}={实数}，故①D（x）的定义域为R正确；
∵函数D(x)=

1，x为有理数 0，x为无理数

，故②D（x）的值域为{0，1}正确；
∵D(-x)=

1，x为有理数 0，x为无理数

=D（x），∴D（x）是偶函数，故③D（x）是偶函数正确；
∵D(x+1)=

1，x为有理数 0，x为无理数

=D（x），∴T=1为其一个周期，故④D（x）是周期函数正确；
∵D（

2

）=0，D（2）=1，D（

5

）=0，显然函数D（x）不是单调函数，故⑤D（x）是单调函数错误；
故答案为：①②③④

点评：本题主要考查了函数的定义，偶函数的定义和判断方法，函数周期性的定义和判断方法，函数单调性的意义，属基础题