Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点。
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-A的大小；
（3）求直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值。

Answer 1

解：（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点， ∵D为AC中点， ∴PD∥B1C， 又∵PD平面A1BD， ∴B1C∥平面A1BD； （2）∵正三棱住ABC-A1B1C1， ∴AA1⊥底面ABC， 又∵BD⊥AC， ∴A1D⊥BD， ∴∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角， ∵AA1=，AD=AC=1， ∴tan∠A1DA=， ∴∠A1DA=，即二面角A1-BD-A的大小是； （3）由（2）作AM⊥A1D，M为垂足， ∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC， 平面A1ACC1∩平面ABC=AC， ∴BD⊥平面A1ACC1， ∵AM平面A1ACC1， ∴BD⊥AM， ∵A1D∩BD=D， ∴AM⊥平面A1DB，连接MP， 则∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角， ∵AA1=，AD=1， ∴在Rt△AA1D中，∠A1DA=， ∴AM=1×sin60°=，AP=AB1=， ∴sin∠APM=， ∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为。