Question

设二次方程，n∈N₊有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3，a₁=1
（1）试用a_n表示a_n+1；            
（2）证明是等比数列；
（3）设，n∈N₊，T_n为{c_n}的前n项和，证明：（n∈N₊）．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用韦达定理求出两根之和以及两根之积，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得到结论；
（2）对（1）的结论两边同时减去整理即可证是等比数列；
（3）确定{c_n}的通项，由此利用错位相减法，即可证得结论．
解答：（1）解：∵二次方程，n∈N₊有两根α和β，
∴由韦达定理得：α+β=，α•β=，
∵6α-2αβ+6β=3，a₁=1，
∴6•-2•=3，
∴a_n+1=a_n+，n∈N₊；
（2）证明：∵a_n+1=a_n+，∴a_n+1-=（a_n-），
∵a₁=1，∴a₁-=
∴是以为首项，为公比的等比数列；
（3）证明：由（2）知，a_n-=
∴=
∴T_n=[1+2•+3•（）²+…+n•（）^n-1]，
∴T_n=[1•+2•（）²+3•（）³+…+（n-1）•（）^n-1+n•（）ⁿ]，
两式相减可得T_n=[1++（）²+（）³+…+（）^n-1-n•（）ⁿ]
∴T_n=-•（）ⁿ-n•（）ⁿ⁺¹，
∴T_n＜＜．
点评：本题是对数列的递推关系以及韦达定理和等比数列知识的综合考查，考查不等式的证明，综合性强，难度大．