Question

17．已知等差数列{a_n}中，a₂+a₄=16，a₅-a₃=4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{4}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求证b₁+b₂+…+b_n≥$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）由已知求出等差数列的首项和公差，代入等差数列的通项公式和前n项和得答案；
（2）把等差数列的前n项和代入b_n=$\frac{4}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，列项和求出b₁+b₂+…b_n，判断数列{S_n}的单调性，即可证明结果．

解答 （1）解：由a₅-a₃=4，可得2d=4，解得d=2．∵a₂+a₄=16，解得a₂=6，a₁=4
可得a_n=4+（n-1）×2=2n+2；
（2）证明：b_n=$\frac{4}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{（2n+2）（2n+4）}$=$\frac{1}{（n+!）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．
S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$．
S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$-$（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$＞0，
可得{S_n}是递增数列．
因为S₁=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
所以S_n$≥\frac{1}{6}$．
∴b₁+b₂+…+b_n≥$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，证明数列不等式，数列的函数的特征的应用，是中档题．