Question

3．（Ⅰ）已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，1），$\overrightarrow{b}$=（-1，$\frac{1}{2}$），若$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直，求实数λ；
（Ⅱ）已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$分别表示向量$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BC}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）进行向量坐标的数乘和加法运算即可求出$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$的坐标，根据$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直便有$（\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=0$，这样即可建立关于λ的方程，从而解出λ；
（Ⅱ）可画出图形，根据向量数乘、减法的几何意义以及向量的数乘运算便可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出向量$\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{BC}$．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}$=（3，1），$\overrightarrow{b}=（-1，\frac{1}{2}）$，则：$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}=（3-λ，1+\frac{λ}{2}）$；
若$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直，$（\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=0$；
即：$9-3λ+1+\frac{λ}{2}=0$，解得：λ=4；
（Ⅱ）如图，

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$；
∴$\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$．

点评 考查向量坐标的加法和数乘运算，以及向量垂直的充要条件，向量的数量积的坐标运算，向量的数乘和减法的几何意义，以及相反向量的概念．