Question

8．△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且角A=60°，a=2，则△ABC的周长的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 根据余弦定理，算出（b+c）²=4+3bc，再利用基本不等式bc≤[$\frac{1}{2}$（b+c）]²，加以计算，可得b+c≤4，即可得到△ABC周长的最大值．

解答 解：∵在△ABC中，A=60°，a=2，
∴由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA，
即4=b²+c²-2bccos60°，化简得（b+c）²=4+3bc，
∵bc≤[$\frac{1}{2}$（b+c）]²，
∴（b+c）²≤4+$\frac{3}{4}$（b+c）²，解得（b+c）²≤16，
由此可得b+c≤4，△ABC周长AB+AC+BC≤6．
即当且仅当b=c=2时，△ABC周长的最大值为6．
故选：C．

点评 本题给出三角形的一边和它的对角，求周长的最大值．着重考查了用余弦定理解三角形和基本不等式求最值等知识，属于中档题．