Question

【题目】已知定义在上的函数．

求函数的单调减区间；

Ⅱ若关于的方程有两个不同的解，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】时， 的单调减区间为；当时，函数的单调减区间为 ；当时，的单调减区间为；Ⅱ.

【解析】

分三种情况讨论，根据一次函数的单调性、二次函数图象的开口方向，可得不同情况下函数的单调减区间；Ⅱ若关于的方程有两个不同的解，等价于有两个不同的解，令利用导数研究函数的单调性，结合极限思想，分析函数的单调性与最值，根据数形结合思想，可得实数的取值范围．

当时，，

函数的单调减区间为；

当时，的图象开口朝上，且以直线为对称轴，

函数的单调减区间为.

当时，的图象开口朝下，且以直线为对称轴，

函数的单调减区间为；

Ⅱ若关于x的方程有两个不同的解，

即有两个不同的解，

令

则

令，则，解得，

当时，，函数为增函数，

当时，，函数为减函数，

故当时，函数取最大值1，

又由，

故时，的图象有两个交点，

有两个不同的解，

即时，关于x的方程有两个不同的解.