试题分析:(1)根据二次函数
的图像过点
和
,法一:可以直接将点代入得到
,进而求解即可;法二:由二次函数
的图像过点
,可设
(两根式),进而再将
代入可求出
的值,最后写出函数的解析式即可;(2)先求出直线
与函数
的图像的交点坐标,进而根据定积分的几何意义即可求出
;(3)先由条件判断点
不在曲线上,于是设出切点
,进而求出切线的斜率,一方面为
,另一方面
,于是得到等式
即
,根据题意,关于
的方程要有三个不相等的实根,设
,转化为该函数的极大值大于零且极小值小于零,最后根据函数的极值与导数关系进行求解运算即可求出
的取值范围.
(1)二次函数的图像过点
,则
,又因为图像过点
∴
3分
∴函数
的解析式为
4分
(2)由
得
,
∴直线
与
的图像的交点横坐标分别为
,
6分
由定积分的几何意义知:
8分
(3)∵曲线方程为
,
∴点
不在曲线上,设切点为
,则
,且
所以切线的斜率为
,整理得
10分
∵过点
可作曲线的三条切线,∴关于
方程
有三个实根
设
,则
,由
得
∵当
时,
在
在上单调递增
∵当
时,
在
上单调递减
∴函数
的极值点为
12分
∴关于
当成
有三个实根的充要条件是
解得
,故所求的实数
的取值范围是
14分.