Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．SD=2DC=2
（1）证明EF∥平面SAD；
（2）求EF与平面ABCD成角的大小．
（3）求四面体F-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）取SD的中点G，通过证明四边形AEFG为平行四边形，证明AG∥EF，再由线线平行证明线面平行；
（2）取CD的中点O，可证FO⊥平面ABCD，证明∠FEO为线面角，再解三角形求得；
（3）由（2）FO为四棱锥的高，底面是边长为1的正方形，代入公式计算求得．

解答：解：（1）分别取CD、SD的中点O、G，连接FG、AG，OF，
∵E，F分别为AB，SC的中点，∴FG∥OD∥AE，FG=DO=AE，
∴四边形AEFG为平行四边形，∴EF∥AG，
又EF?平面SAD，AG?平面SAD，
∴EF∥平面SAD．
（2）∵O、F分别是SC、DC的中点，∴FO∥SD，FO=

1

2

SD=1，
∵SD⊥平面ABCD，∴FO⊥平面ABCD，∴EO为EF在平面ABCD中的射影，
∴∠FEO为直线EF与平面ABCD所成的角，
在Rt△EFO中，OE=AD=1，tan∠FEO=

FO

EO

=1，
∴EF与平面ABCD所成的角为

π

4

；
（3）∵底面ABCD为正方形，FO⊥平面ABCD，FO=1，
∴V_F-ABCD=

1

3

×1×1=

1

3

．

点评：本题考查了线面平行的判定，直线与平面所成角的定义及求法，考查了棱锥的体积公式，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．