Question

（2012•道里区三模）已知函数g（x）=x²-（2a+1）x+alnx
（Ⅰ） 当a=1时，求函数g（x）的极值；
（Ⅱ） 求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值；
（Ⅲ） 在（Ⅰ）的条件下，设f（x）=g（x）+4x-x²-2lnx，证明：

n

k=2

1

k-f(k)

＞

3n2-n-2

n(n+1)

(n≥2)．
参考数据：ln2≈0.6931．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入g（x）然后对g（x）进行求导，令g′（x）=0，可得极值点，从而求出函数g（x）的极值；
（Ⅱ）已知函数g（x）=x²-（2a+1）x+alnx，对其进行求导，利用导数研究单调性，对a值进行讨论，从而求解；
（ III）根据题意，f（x）=g（x）+4x-x²-2lnx=x-lnx（x＞0），利用不等式lnx＜

1

4

（x²-1），对要证明的不等式左边进行放缩，来进行证明；

解答：解：（Ⅰ）∵a=1，可得g（x）=x²-3x+lnx，（x＞0）
∴g′（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

，
令g′（x）=0，x₁=

1

2

，x₂=1，
  g′（x）＞0，即x＞1或x＜

1

2

，g（x）为增函数，
g′（x）＜0，即

1

2

＜x＜1，g（x）为减函数，
g（x）在x=

1

2

出取极大值，g（x）_极大值=g（

1

2

）=-

5

4

-ln2，
g（x）在x=1出取极小值，g（x）_极小值=g（1）=-2，
（Ⅱ）g′（x）=2x-（2a+1）+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

=

(2x-1)(x-a)

x

当a≤1时，x∈[1，e]，g′（x）≥0，g（x）单调递增，g（x）_min=g（1）=2a，
当1＜a＜e时，x∈[1，a]时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈[a，e]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴g（x）_min=g（a）=-a²-a+alna，
当a≥e时，x∈[1，e]，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
g（x）_min=g（e）=e²-（2a+1）e+a，
∴g（x）的最小值为：g（a）=

-2a                              a≤1 -2a2-a+alna     1＜a＜e e2-(2a+1)e+a        a≥e

（ III）依题意可得，f（x）=g（x）+4x-x²-lnx=x-lnx（x＞0）
∴k-f（k）=lnk，令h（x）=lnx-

1

4

（x²-1），∵x∈[2，+∞）时，h′（0）=

2-x2

2x2

＜0，
∴h（x）≤h（2）=ln2-

3

4

＜0，即lnx＜

1

4

（x²-1），∴

1

lnx

＞

4

(x-1)(x+1)

=2（

1

x-1

-

1

x+1

）
∴

n

k=2

1

k-f(k)

=

n

k=2

1

lnk

=

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnk

＞2（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-2

-

1

n

+

1

n-1

-

1

n+1

）=2（1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

）=

3n2-n-2

n(n+1)

，（n≥2）；

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值问题，考查不等式的证明，用好导数是关键，本题考查的知识点比较全面，是一道难题，计算量也很大，同学们要认真做好笔记；