Question

记数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+n+1
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=2a_n+1+5（n≥1），证明：数列{b_n}是等差数列．

Answer 1

考点：等差关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据数列{a_n}的前n项和S_n，得出S_n-1，计算a_n的表达式，求出{a_n}的通项公式a_n；
（2）求出{b_n}的通项公式利用等差数列的定义，判断数列{b_n}是等差数列．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+n+1；
∴当n≥2时，S_n-1=（n-1）²+（n-1）+1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2n；
当n=1时，a₁=S₁=3，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=

3，n=1 2n，n≥2

；
（2）证明：∵n≥2时，a_n=2n，
∴b_n=2a_n+1+5=2（n+1）+5，其中n≥1；
∴b_n+1=2（n+2）+5，
∴b_n+1-b_n=2，为常数；
∴数列{b_n}是等差数列．

点评：本题考查了利用定义判断是否为等差数列的应用问题，也考查了根据前n项和定义求数列通项公式的应用问题，是基础题目．