Question

我们把具有以下性质的函数f（x）称为“好函数”：对于在f（x）定义域内的任意三个数a，b，c，若这三个数能作为三角形的三边长，则f（a），f（b），f（c）也能作为三角形的三边
长．现有如下一些函数：
①f(x)=

x

②f(x)=1-x，x∈(0，

1

2

)
③f（x）=e^x，x∈（0，1）
④f（x）=sinx，x∈（0，π）．
其中是“好函数”的序号有（　　）

A．①②

B．①②③

C．②③④

D．①③④

Answer 1

分析：根据“好函数”的定义，可以证出①②③的函数都满足条件，是“好函数”；而④可以通过举出反例，得到它不满足条件，故不是“好函数”．由此得到本题的答案．

解答：解：①设a、b、c∈（0，+∞）且a+b＞c
则（

a

+

b

）²=a+b+2

ab

＞c，可得

a

+

b

＞

c

，
同理有

b

+

c

＞

a

，

c

+

a

＞

b

，所以f(x)=

x

是“好函数”；
②设a、b、c∈（0，

1

2

）且a+b＞c
则（1-a）+（1-b）＞1＞1-c，同理可得（1-b）+（1-c）＞1-a，（1-c）+（1-a）＞1-b，
所以f(x)=1-x，x∈(0，

1

2

)是“好函数”；
③设a、b、c∈（0，1）且a+b＞c
（i）若a≤ln2且b≤ln2，则e^a+e^b≥2

ea+b

∵ln2≥

1

2

(a+b)，∴2≥e

a+b

2

即2≥

ea+b

由此可得e^a+e^b≥

ea+b

•

ea+b

=e^a+b＞e^c
（ii）若a、b中至少有一个大于ln2，不妨设a＞ln2
则e^a+e^b＞e^ln2+e⁰=2+1=3，而e^c＜e¹＜3
∴e^a+e^b＞e^c，
综上所述，得e^a+e^b＞e^c，同理可得e^b+e^c＞e^a，e^c+e^a＞e^b．
因此f（x）=e^x，x∈（0，1），是“好函数”；
④设a、b、c∈（0，π），取a=

π

3

，b=

2π

3

，c=

π

2

得sina=sinb=

3

2

，sinc=1．虽然a+b＞c，但是sina+sinb=sinc，
不满足“好函数”的定义，故f（x）=sinx，x∈（0，π），不是“好函数”．
故选：B

点评：本题给出“好函数”的定义，要我们找出满足条件的函数．着重考查了基本初等函数的性质、不等式的证明和简单的演绎推理等知识，属于中档题．