精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，当x＞1时，f（x）＜0且有f（xy）=f（x）+f（y）；
（1）求f（1）的值；
（2）求证：0＜x＜1时，f（x）＞0；
（3）判断f（x）的单调性并证明之；
（4）若f（ $数学公式$ ）=2，求不等式f（x）+f（2-x）＜2的解集．

解：（1）令x=y=1得：f（1）=f（1）+f（1），
解得f（1）=0，
令x=-x、y=1得：f（-x）=f（x）+f（1）=f（x）
∴f（x）为偶函数；
（2）函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
证明如下：设x₁＞x₂＞0，则 $\text{[math]}$ ，
∵当x＞1时f（x）＜0，f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x₁）=f（x₂• $\text{[math]}$ ）=f（x₂）+f（ $\text{[math]}$ ），
则f（ $\text{[math]}$ ）=f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）为单调减函数；
（3）由（1）知f（1）=0，
由（2）知，f（x）在（0，+∞）为单调减函数；
∴0＜x＜1时，f（x）＞f（1）=0，
（4）∵f（xy）=f（x）+f（y），且f（ $\text{[math]}$ ）=2
∴f（x）+f（2-x）＜2化为：f[x（2-x）]＜f（ $\text{[math]}$ ），
∵f（x）在（0，+∞）为单调减函数，
∴ $\text{[math]}$ ，解得0＜x＜ $\text{[math]}$ ，
故所求的解集为：（0， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）先令x=y=1得到f（1）=0，从而得出f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），f（x）为偶函数；
（2）设x₁＞x₂＞0，得 $\text{[math]}$ ，结合式子进行变形，利用定义法作差，整理后即可证得差的符号，进而由定义得出函数的单调性；（4）
（3）由（1）和（2），结合单调性得0＜x＜1时，f（x）＞f（1）=0；
（4）根据条件将原不等式转化为f[x（2-x）]＜f（ $\text{[math]}$ ），结合函数的单调性和定义域可得关于x的不等式，再进行求解．
点评：本题考查了利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题，求某些点的函数值和证明不等式等，考查灵活赋值求值的能力以及灵活变形，证明函数单调性的能力．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x=

对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=

．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

例2．设f（x）是定义在[-3，

]上的函数，求下列函数的定义域（1）y=f(

-2)（2）y=f(

)(a≠0)

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，而当x∈[2，3]时，g（x）=-x²+4x-4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，求证：|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|；
（Ⅲ）对任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，求证：|f（x₂）-f（x₁）|≤1．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：