Question

设函数y=f（x）对任意的实数x，都有，且当x∈[0，1]时，f（x）=27x²（1-x）．
（1）若x∈[1，2]时，求y=f（x）的解析式；
（2）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞）），试问：在它的图象上是否存在点P，使得函数在点P处的切线与 x+y=0平行．若存在，那么这样的点P有几个；若不存在，说明理由．
（3）已知 n∈N^*，且 x_n∈x[n，n+1]，记 S_n=f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n），求证：0≤S_n＜4．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=，设x∈[1，2]，则0≤x-1≤1，能求出f（x）．
（2）设x∈[n，n+1]，则0≤x-n≤1，f（x-n）=27（x-n）（n+1-x），f（x）====…==（x-n）²（n+1-x），由此入手能够求出满足题意的点P的个数．
（3）由（2）知f′（x）=-（x-n）[x-（n+）]，当x∈（n，n+）时，f′（x）＞0，f（x）在（n+，n+1）上递减，当x∈[n，n+1]，n∈N时，f（x）_max=f（n+）=，
又f（x）≥f（n）=f（n+1）=0，由此能够证明0≤S_n＜4．
解答：解：（1）∵f（x）=，
设x∈[1，2]，则0≤x-1≤1，
∴f（x）==（x-1）²（2-x）．
（2）设x∈[n，n+1]，则0≤x-n≤1，
f（x-n）=27（x-n）（n+1-x），
∴f（x）====…==（x-n）²（n+1-x），
∴y=f（x），x∈[0，+∞]．
f（x）=，x∈[n，n+1]，n∈N．
∴f′（x）=
=-[3x²-2（3n+1）x+n（3n+2）]
=-[x²-2（n+）x+n（n+）]
=-（x-n）[x-（n+）]，
∴问题转化为判断关于x的方程-（x-n）[x-（n+）]=-1在[n，n+1]，n∈N内是否有解，
即在[n，n+1]，n∈N内是否有解，
令g（x）=（x-n）[x-（n+）]-=xⁿ-x+-，
函数y=g（x）的图象是开口向上的抛物线，
其对称轴是直线x=n+∈[n，n+1]，
判别式=，
且g（n）=-，g（n+1）==．
①当0≤n≤4，n∈N时，∵g（n+1）＞0，
∴方程分别在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，[3，4]，[4，5]上各有一解，
即存在5个满足题意的点P．
②当n≥5（n∈N）时，∵g（n+1）＜0，
∴方程在区间[n，n+1]，n∈N，n≥5上无解．
综上所述，满足题意的点P有5个．
（3）由（2）知f′（x）=-（x-n）[x-（n+）]，
∴当x∈（n，n+）时，f′（x）＞0，f（x）在（n+，n+1）上递减，
∴当x∈[n，n+1]，n∈N时，f（x）_max=f（n+）=，
又f（x）≥f（n）=f（n+1）=0，
∴对任意的n∈N^*，当x_n∈[n，n+1]时，都有0，
∴S_n=f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）
≤
=4-＜4，
∴0≤S_n＜4．
点评：本题考查解析式的求法，考查满足条件的点的个数的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．