Question

设函数y=f（x）对任意的实数x，都有f(x)=

1

2

f(x-1)，且当x∈[0，1]时，f（x）=27x²（1-x）．
（1）若x∈[1，2]时，求y=f（x）的解析式；
（2）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞）），试问：在它的图象上是否存在点P，使得函数在点P处的切线与 x+y=0平行．若存在，那么这样的点P有几个；若不存在，说明理由．
（3）已知 n∈N^*，且 x_n∈x[n，n+1]，记 S_n=f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n），求证：0≤S_n＜4．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=

1

2

f(x-1)，设x∈[1，2]，则0≤x-1≤1，能求出f（x）．
（2）设x∈[n，n+1]，则0≤x-n≤1，f（x-n）=27（x-n）（n+1-x），f（x）=

1

2

f(x-1)=

1

22

(x-2)=

1

23

(x-3)=…=

1

2n

(x-n)=

27

2n

（x-n）²（n+1-x），由此入手能够求出满足题意的点P的个数．
（3）由（2）知f′（x）=-

81

2n

（x-n）[x-（n+

2

3

）]，当x∈（n，n+

2

3

）时，f′（x）＞0，f（x）在（n+

2

3

，n+1）上递减，当x∈[n，n+1]，n∈N时，f（x）_max=f（n+

2

3

）=

1

2n-1

，
又f（x）≥f（n）=f（n+1）=0，由此能够证明0≤S_n＜4．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

2

f(x-1)，
设x∈[1，2]，则0≤x-1≤1，
∴f（x）=

1

2

f(x-1)=

27

2

（x-1）²（2-x）．
（2）设x∈[n，n+1]，则0≤x-n≤1，
f（x-n）=27（x-n）（n+1-x），
∴f（x）=

1

2

f(x-1)=

1

22

(x-2)=

1

23

(x-3)=…=

1

2n

(x-n)=

27

2n

（x-n）²（n+1-x），
∴y=f（x），x∈[0，+∞]．
f（x）=

27

2n

(x-n)2(n+1-x)，x∈[n，n+1]，n∈N．
∴f′（x）=

27

2n

[2(x-n)(n+1-x)-(x-n)2]
=-

27

2n

[3x²-2（3n+1）x+n（3n+2）]
=-

81

2n

[x²-2（n+

1

3

）x+n（n+

2

3

）]
=-

81

2n

（x-n）[x-（n+

2

3

）]，
∴问题转化为判断关于x的方程-

81

2n

（x-n）[x-（n+

2

3

）]=-1在[n，n+1]，n∈N内是否有解，
即(x-n)[x-(n+

2

3

)]=-1在[n，n+1]，n∈N内是否有解，
令g（x）=（x-n）[x-（n+

2

3

）]-

2n

81

=xⁿ-

6n+2

3

x+

3n2+2n

3

-

2n

81

，
函数y=g（x）的图象是开口向上的抛物线，
其对称轴是直线x=n+

1

3

∈[n，n+1]，
判别式△=(-

6n+2

3

)2-4(

3n2+2n

3

-

2n

81

)=

4

9

+

2n+2

81

＞0，
且g（n）=-

2n

81

＜0，g（n+1）=

1

3

-

2n

81

=

27-2n

81

．
①当0≤n≤4，n∈N时，∵g（n+1）＞0，
∴方程(x-n)[x-(n+

2

3

)]=-1分别在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，[3，4]，[4，5]上各有一解，
即存在5个满足题意的点P．
②当n≥5（n∈N）时，∵g（n+1）＜0，
∴方程(x-n)[x-(n+

2

3

)]=-1在区间[n，n+1]，n∈N，n≥5上无解．
综上所述，满足题意的点P有5个．
（3）由（2）知f′（x）=-

81

2n

（x-n）[x-（n+

2

3

）]，
∴当x∈（n，n+

2

3

）时，f′（x）＞0，f（x）在（n+

2

3

，n+1）上递减，
∴当x∈[n，n+1]，n∈N时，f（x）_max=f（n+

2

3

）=

1

2n-1

，
又f（x）≥f（n）=f（n+1）=0，
∴对任意的n∈N^*，当x_n∈[n，n+1]时，都有0≤f(xn)≤

1

2n-1

，
∴S_n=f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）
≤

1

2-1

+

1

20

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

=4-

1

2n-1

＜4，
∴0≤S_n＜4．

点评：本题考查解析式的求法，考查满足条件的点的个数的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．