Question

已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=2

2

，∠ACB=90°，AA₁=4，E是AB的中点，F是AA₁的中点，
（1）求证A₁B⊥CE；
（2）求C₁F与侧面ABB₁A₁所成角的正切值；
（3）求异面直线A₁B与C₁F所成角．

Answer 1

分析：（1）要证A₁B⊥CE，应通过证明CE⊥侧面AB₁得出．由直棱柱 的性质易证．
（2）取A₁B₁的中点E₁，则C₁E₁⊥平面ABB₁A₁，连接E₁F，∠C₁FE₁为C₁F与侧面ABB₁A₁所成角，在直角三角形C₁E₁F中 求解即可．
（3）容易得知EF∥A₁B，∠C₁FE是异面直线A₁B与C₁F所成角（或补角），解三角形C₁FE即可．

解答：解：（1）因为直三棱柱，所以侧面AB₁⊥底面ABC
又因为底面△ABC为等腰直角三角形，E是斜边AB的中点
所以CE⊥AB，所以CE⊥侧面AB₁，而A₁B?侧面AB₁，所以A₁B⊥CE----（4分）
（2）取A₁B₁的中点E₁，则C₁E₁⊥平面ABB₁A₁，连接E₁F
∴∠C₁FE₁为C₁F与侧面ABB₁A₁所成角-------------（6分）
在直角三角形C₁E₁F中，C₁E₁=

1

2

A1B1=2，E1F=2

2

，
∴tan∠C1FE1=

2

2 2

=

2

2

C₁F与侧面ABB₁A₁所成角的正切值为

2

2

．-----------（8分）
（3）因为E是AB的中点，F是AA₁的中点，所以EF∥A₁B，
即∠C₁FE是异面直线A₁B与C₁F所成角（或补角）-----（10分）
EF=

1

2

A1B=

8

，
C1F=

A1C12+A1F2

=

8+4

=

12

C1E=

C C 2 1 +CE2

=

16+4

=

20

∴C₁E²=EF²+C₁F²，∴∠C₁FE=90°
即异面直线A₁B与C₁F成90⁰角．-------（13分）

点评：本题考查直线和直线、直线和平面垂直、平行关系的判定，直线和直线、平面所成角的计算．考查考查空间想象能力、转化、计算、推理论证能力．