Question

如图，已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，BC=BB₁=8，M，N分别为棱BC，CC₁的中点．
（1）求证：BN⊥AB₁；
（2）求四棱锥A-MB₁C₁C与三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积比．

Answer 1

解：（1）∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，
∴侧面BB₁C₁C为正方形
∵M，N分别为BC，CC₁的中点，
∴Rt△BCN≌Rt△B₁BM，得∠CBN=∠BB₁M=90°-∠NBB₁，
由此可得∠NBB₁+∠BB₁M=90°，得BN⊥B₁M
∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B⊥平面ABC，B₁B?平面BB₁C₁C
∴平面ABC⊥平面BB₁C₁C
∵△ABC中，AB=AC=5，M为BC中点，∴AM⊥BC
∵平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，AM?平面ABC
∴AM⊥平面BB₁C₁C，结合BN?平面BB₁C₁C，得BN⊥AM
∵AM、B₁N是平面AB₁M内的相交直线
∴BN⊥平面AB₁M，再由AB₁?平面AB₁M，得BN⊥AB₁；
（2）∵AB=5，MB=BC=4，∴AM==3
∴四棱锥A-MB₁C₁C的体积：V_A-MB1C1C=S_{四边形MB1C1C}•AM=×（8²-×8×4）=48
又∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V_{三棱柱ABC-A1B1C1}=S_△ABC•BB₁=×8×3×8=96
∴四棱锥A-MB₁C₁C与三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积比为48：96=1：2．
分析：（1）在正方形BB₁C₁C中，利用三角形全等证出BN⊥B₁M，再利用直三棱柱的性质和面面垂直的判定与性质，得到BN⊥AM，从而得到BN⊥平面AB₁M，再由AB₁?平面AB₁M，得BN⊥AB₁；
（2）利用勾股定理，算出四棱锥A-MB₁C₁C的高为AM=3，结合四边形MB₁C₁C的面积，可算出四棱锥A-MB₁C₁C的体积为48；而由已知条件易算出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为96，由此可得四棱锥A-MB₁C₁C与三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积比．
点评：本题给出直三棱柱，求证异面直线相互垂直并求两个几何体的体积之比，着重考查了空间线面垂直、面面垂直的判定与性质和柱体、锥体的体积公式等知识，属于中档题．