分析:(1)取AB
1的中点G,连接EG,FG.根据三角形中位线定理,得出FG∥B
1B且FG=
B
1B,又因为矩形BB
1C
1C中,EC∥B
1B且EC=
B
1B,所以EC与FG平行且相等,四边形FGEC是平行四边形,CF∥EG,从而得到CF∥平面AEB
1.
(2)根据题意,计算出梯形ECBB
1的面积,结合AC⊥平面ECBB
1和锥体体积公式,即可算出四棱锥A-ECBB
1的体积.
解答:![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201305/45/67a10e56.png)
解:(1)CF∥平面AEB
1,证明如下:
取AB
1的中点G,连接EG,FG
∵△A
1AB中,F、G分别是棱AB、AB
1中点
∴FG∥B
1B且FG=
B
1B
又∵矩形BB
1C
1C中,EC∥B
1B且EC=
B
1B
∴EC∥FG且EC=FG,得四边形FGEC是平行四边形
∴CF∥EG
又∵CF?平面AEB
1,EG?平面AEB
1,
∴CF∥平面AEB
1.
(2)∵三棱柱ABC-A
1B
1C
1是直棱柱,
∴BB
1⊥平面ABC,
又∵AC?平面ABC,∴AC⊥BB
1
∵∠ACB=90°,即AC⊥BC,而且BB
1、BC是平面ECBB
1内的相交直线
∴AC⊥平面ECBB
1 ∵E是棱CC
1的中点,得EC=
AA
1=2
∴S
梯形ECBB1=
(EC+BB
1)BC=
(2+4)×2=6
∴四棱锥A-ECBB
1的体积V=
S
梯形ECBB1×AC=
×6×2=4
点评:本题在直三棱柱中探索线面平行,并求锥体体积公式,着重考查线面平行的判定、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识,属于中档题.