分析:(Ⅰ)欲证CF⊥平面ABB1,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CF垂直平面ABB1内两相交直线垂直,而CF⊥BB1,CF⊥AB,BB1∩AB=B,满足定理条件;
(Ⅱ)取AB1的中点G,连接EG,FG,欲证CF∥平面AEB1,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证CF与平面AEB1内一直线平行即可,而CF∥EG,CF?平面AEB1,EG?平面AEB1,满足定理条件.EB1-B
(III)以C为坐标原点,射线CA,CB,CC1为x,y,z轴正半轴,建立空间直角坐标系C-xyz,设出E点坐标,分别求出平面AEB1与EB1B的法向量,根据二面角A-EB1-B的大小是45°,代入向量夹角公式,构造方程即可得到答案.
解答:![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201011/43/c6992644.png)
证明:(Ⅰ)∵三棱柱ABC-A
1B
1C
1是直棱柱,∴BB
1⊥平面ABC.
又∵CF?平面ABC,
∴CF⊥BB
1.
∵∠ACB=90°,AC=BC=2,F是AB中点,
∴CF⊥AB.
又∵BB
1∩AB=B,
∴CF⊥平面ABB
1.
(Ⅱ)取AB
1的中点G,连接EG,FG.
∵F、G分别是棱AB、AB
1中点,
∴FG∥BB
1,
FG=BB
1.
又∵EC∥BB
1,
EC=BB1,
∴FG∥EC,FG=EC.
∴四边形FGEC是平行四边形,
∴CF∥EG.
![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201109/28/37660dac.png)
又∵CF?平面AEB
1,EG?平面AEB
1,
∴CF∥平面AEB
1.(9分)
(3)解:以C为坐标原点,射线CA,CB,CC
1为x,y,z轴正半轴,
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz
则C(0,0,0),A(2,0,0),B
1(0,2,4)(10分)
设E(0,0,m),平面AEB
1的法向量
=(x,y,z)
则
=(-2,2,4),
=(-2,0,m)
且
⊥
,
⊥
,
于是
,即
取z=2,则
=(m,m-4,2)(12分)
∵三棱柱ABC-A
1B
1C
1是直棱柱,
∴BB
1⊥平面ABC,
又∵AC?平面ABC
∴AC⊥BB
1∵∠ACB=90°,
∴AC⊥BC
∴AC⊥平面ECBB
1∴
=(2,0,0)是平面EBB
1的法向量,
二面角A-EB
1-B的大小是45°,
则cos45°=
=
=
(13分)
解得m=
∴在棱CC
1上存在点E,使得二面角A-EB
1-B的大小是45°.
此时CE=
(14分)
点评:本小题主要考查直线与平面平行的判定,以及直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.