Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4．E、F分别是棱CC₁、AB中点．
（Ⅰ）求证：CF⊥BB₁；
（Ⅱ）求四棱锥A-ECBB₁的体积；
（Ⅲ）判断直线CF和平面AEB₁的位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）要证CF⊥BB₁，只需证明BB₁⊥平面ABC；由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱可以得出；
（2）要求四棱锥A-ECBB₁的体积，需先求底面ECBB₁（直角梯形）的面积；四棱锥的高是AC（需证明），再由体积公式可得；
（3）判断直线CF和平面AEB₁的位置关系，由CF?平面AEB₁，可猜想CF∥平面AEB₁；要证明线面平行，需证线线平行即可．

解答：解：如图，
（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴BB₁⊥平面ABC；
又∵CF?平面ABC，∴CF⊥BB₁．

（Ⅱ）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴BB₁⊥平面ABC．
又∵AC?平面ABC，∴AC⊥BB₁．
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC．
且BB₁∩BC=B，∴AC⊥平面ECBB₁．
∴四棱锥VA-ECBB1的体积为
VA-ECBB1=

1

3

SECBB1•AC．
由E是棱CC₁的中点，∴EC=

1

2

AA1=2．
∴SECBB1=

1

2

(EC+BB1)•BC=

1

2

×(2+4)×2=6．
∴VA-ECBB1=

1

3

SECBB1•AC=

1

3

×6×2=4．

（Ⅲ）解：CF∥平面AEB₁．现证明如下：
取AB₁的中点G，连接EG，FG．∵F、G分别是棱AB、AB₁中点，
∴FG∥BB₁，且FG=

1

2

BB₁．
又∵EC∥BB₁，且EC=

1

2

BB1，∴FG∥EC，且FG=EC．
∴四边形FGEC是平行四边形．∴CF∥EG．
又∵CF?平面AEB₁，EG?平面AEB₁，
∴CF∥平面AEB₁．

点评：本题综合考查了空间中的垂直与平行关系，如（1）由线面垂直，得线线垂直；（2）说明AC是高时，证线面垂直，要先证线线垂直；（3）中证明线面平行时，需先证线线平行．所以理清空间中的垂直与平行关系，是解答本题的关键．