分析:(1)要证CF⊥BB1,只需证明BB1⊥平面ABC;由三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱可以得出;
(2)要求四棱锥A-ECBB1的体积,需先求底面ECBB1(直角梯形)的面积;四棱锥的高是AC(需证明),再由体积公式可得;
(3)判断直线CF和平面AEB1的位置关系,由CF?平面AEB1,可猜想CF∥平面AEB1;要证明线面平行,需证线线平行即可.
解答:![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201011/41/878145ae.png)
解:如图,
(Ⅰ)证明:∵三棱柱ABC-A
1B
1C
1是直棱柱,∴BB
1⊥平面ABC;
又∵CF?平面ABC,∴CF⊥BB
1.
(Ⅱ)解:∵三棱柱ABC-A
1B
1C
1是直棱柱,∴BB
1⊥平面ABC.
又∵AC?平面ABC,∴AC⊥BB
1.
∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC.
且BB
1∩BC=B,∴AC⊥平面ECBB
1.
∴四棱锥
VA-ECBB1的体积为
VA-ECBB1=SECBB1•AC.
由E是棱CC
1的中点,∴
EC=AA1=2.
∴
SECBB1=(EC+BB1)•BC=×(2+4)×2=6.
∴
VA-ECBB1=SECBB1•AC=×6×2=4.
(Ⅲ)解:CF∥平面AEB
1.现证明如下:
取AB
1的中点G,连接EG,FG.∵F、G分别是棱AB、AB
1中点,
∴FG∥BB
1,且
FG=BB
1.
又∵EC∥BB
1,且
EC=BB1,∴FG∥EC,且FG=EC.
∴四边形FGEC是平行四边形.∴CF∥EG.
又∵CF?平面AEB
1,EG?平面AEB
1,
∴CF∥平面AEB
1.
点评:本题综合考查了空间中的垂直与平行关系,如(1)由线面垂直,得线线垂直;(2)说明AC是高时,证线面垂直,要先证线线垂直;(3)中证明线面平行时,需先证线线平行.所以理清空间中的垂直与平行关系,是解答本题的关键.