Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A₁的中点．
（Ⅰ）求异面直线AB和C₁D所成的角（用反三角函数表示）；
（Ⅱ）若E为AB上一点，试确定点E在AB上的位置，使得A₁E⊥C₁D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点D到平面B₁C₁E的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）法一：利用平行四边形的性质把其中一条平移及异面直线所成的角的定义、三角形中的三角函数的计算即可求出；
法二：建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量所成的角即可求出异面直线所成的角；
（Ⅱ）法一：过C₁作C₁M⊥A₁B₁，垂足为M，则M为A₁B₁的中点，且C₁M⊥平面AA₁B₁B．连接DM，利用三垂线定理即可找出点E的位置；
法二：过E作EN⊥AC，垂足为N，则EN⊥平面AA₁C₁C，连接A₁N．利用三垂线定理即可证明；
法三：建立空间直角坐标系，利用

A1E

⊥

C1D

?

A1E

•

C1D

=0即可求出；
（Ⅲ）法一：利用线面、面面垂直的判定和性质即可求出；
法二：利用“等积变形”即可求出．

解答：（Ⅰ）法一：取CC₁的中点F，连接AF，BF，则AF∥C₁D．
∴∠BAF为异面直线AB与C₁D所成的角或其补角．
∵△ABC为等腰直角三角形，AC=2，∴AB=2

2

．
又∵CC₁=2，∴AF=BF=

5

．
∵cos∠BAF=

2

5

=

10

5

，
∴∠BAF=arccos

10

5

，
即异面直线AB与C₁D所成的角为arccos

10

5

．
法二：以C为坐标原点，CB，CA，CC₁分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，2，0），B（2，0，0），
C₁（0，0，2），D（0，2，1），
∴

AB

=（2，-2，0），

C1D

=（0，2，-1）．由于异面直线AB与C₁D所成的角
为向量

AB

与

C1D

的夹角或其补角．设

AB

与

C1D

夹角为θ，
则cosθ=

-4

2 2 × 5

=-

10

5

，θ=π-arccos

10

5

，
即异面直线AB与C₁D所成的角为arccosθ．
（Ⅱ）法一：过C₁作C₁M⊥A₁B₁，垂足为M，则M为A₁B₁的中点，且C₁M⊥平面AA₁B₁B．连接DM．
∴DM即为C₁D在平面AA₁B₁B上的射影．要使得A₁E⊥C₁D，由三垂线定理知，只要A₁E⊥DM．
∵AA₁=2，AB=2

2

，由计算知，E为AB的中点．
法二：过E作EN⊥AC，垂足为N，则EN⊥平面AA₁C₁C．
连接A₁N．∴A₁N即为A₁E在平面AA₁C₁C上的射影．要使得A₁E⊥C₁D，由三垂线定理知，只要A₁N⊥C₁D．
∵四边形AA₁C₁C为正方形，∴N为AC的中点，∴E点为AB的中点．
法三：以C为坐标原点，CB，CA，CC₁分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A₁（0，2，2），B（2，0，0），A（0，2，0），
C₁（0，0，2），D（0，2，1），
设E点的坐标为（x，y，0），
要使得A₁E⊥C₁D，
只要

A1E

•

C1D

=0，∵

A1E

=（x，y-2，-2），

C1D

=（0，2，-1），y=1．
又∵点E在AB上，∴

AE

∥

AB

，

AE

=(x，y-2，0)，

AB

=(2，-2，0)．
∴x=1．
∴E（1，1，0）．
∴E点为AB的中点．
（Ⅲ）法一：取AC中点N，连接EN，C₁N，
则EN∥B₁C₁．∵B₁C₁⊥平面AA₁C₁C，∴面B₁C₁NE⊥平面AA₁C₁C．
过点D作DH⊥C₁N，垂足为H，则DH⊥平面B₁C₁NE，
∴DH的长度即为点D到平面B₁C₁E的距离．
在正方形AA₁C₁C中，由计算知DH=

3 5

5

，即点D到平面B₁C₁E的 距离

3 5

5

．
法二：连接DE，DB₁．
在三棱锥D-B₁C₁E中，点C₁到平面DB₁E的距离
=

2

，B₁E=

6

，DE=

3

，
又B₁E⊥DE，∴△DB₁E的面积=

1

2

×

6

×

2

=

3 2

2

，
∴三棱锥C₁-DB₁E的体积为=

1

3

×

3 2

2

×

2

=1．
设点D到平面B₁C₁E的距离为d，在△B₁C₁E中，B₁C₁=2，B₁E=C₁E=

6

，
∴△B₁C₁E的面积=

1

2

×2×

5

=

5

．由

1

3

×d×

5

=1，
得d=

3 5

5

，即点D到平面B₁C₁E的距离

3 5

5

．

点评：本题综合考查了空间中的空间角、线面位置关系、空间距离，熟练掌握平行四边形的性质、异面直线所成的角的定义、三角形中的三角函数的计算、三垂线定理、通过建立空间直角坐标系利用直线的方向向量及平面的法向量的夹角、

A1E

⊥

C1D

?

A1E

•

C1D

=0、线面与面面垂直的判定和性质、“等积变形”是解题的关键．