Question

已知M、N是正四面体PABC的棱AB、PC的中点.求：

(1)异面直线PM、BN所成角的大小；

(2)BN与底面ABC所成角的大小；

(3)相邻两侧面所成的角.

Answer 1

解析：(1)设正四面体PABC的棱长为a,连结MC，取其中点R，连结NR和BR，易证PM∥NR，故∠BNR就是异面直线PM、BN所成的角，?

NR=PM=a,BN=a,?

BR=.?

由余弦定理cos∠BNR=,?

∴∠BNR=arccos.?

(2)作NH⊥MC于H，PG⊥MC于G，则∠NBH即为BN与底面ABC所成的角，由上可知G是△ABC的中心,?

∴GM=MC=a.?

∴PG=?

=,?

sin∠NBH=?

=,?

即∠NBH=arcsin.?

(3)∠PMC即为相邻两面所成的角，∠PMC=arccos.