Question

对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：
①在内单调递增或单调递减；②存在区间，使在 上的值域为；那么把叫闭函数.
（1）求闭函数符合条件②的区间；
（2）判断函数，是否为闭函数？并说明理由；
（3）若是闭函数，求实数的范围？

Answer 1

（1）
（2）不是闭函数.
（3）

（1）在上递减，依题意，
  解得
∴所求的区间为.
（2）当时，.
当时，得；
当时，得，
∴的递增区间为，递减区间为
∴函数在定义域上不单调递增或单调递减，
故函数，不是闭函数.
（3）在定义域上为增.
若是闭函数，则存在区间，在区间上，函数的值域为，即
∴为方程 (*)的两个实数根，
即方程有两个不等的实根，
令
当时，有  即
解得.
当时，有   即
此不等式组无解.
综上所述，.