Question

15．已知函数f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxsin（ωx+$\frac{π}{2}$）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（x）；
（2）若f（x₀）=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，求x₀．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{1}{2}$+sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），由周期公式可得ω，可得解析式；
（2）由题意可得sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得：
f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxsin（ωx+$\frac{π}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（1-cos2ωx）+$\sqrt{3}$sinωxcosωx
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx
=$\frac{1}{2}$+sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
由周期公式可得$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$+sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）∵f（x₀）=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x₀-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴2x₀-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，解得x₀=$\frac{π}{4}$或$\frac{5π}{12}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的周期性，属基础题．