Question

设函数f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[

1

e

-1，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）关于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围． （e 为自然常数，约等于2.718281828459）

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域，然后求导函数，令导数大于0（小于0），从而求出函数的单调区间；
（2）由（1）得f（x）在 x∈[

1

e

-1，e-1]的单调性，进一步求出f（x）_max，得到m的范围；
（3）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，构造函数g（x）=x-a+1-ln（1+x）²，确定函数g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，从而问题等价于只须g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，故可求．

解答：解：（1）函数定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），∵f′(x)=2[(x+1)-

1

x+1

]=

2x(x+2)

x+1

，
由f'（x）＞0，得-2＜x＜-1或x＞0，由f'（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0．
则递增区间是（-2，-1），（0，+∞），递减区间是（-∞，-2），（-1，0）．------------（4分）
（2）由f′(x)=

2x(x+2)

x+1

=0，得x=0或x=-2
由（1）知，f（x）在[

1

e

-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增-------------（6分）
又f(

1

e

-1)=

1

e2

+2，f(e-1)=e2-2，且e2-2＞

1

e2

+2
∴x∈[

1

e

-1，e-1]时，[f（x）]_max=e²-2，
故m＞e²-2时，不等式f（x）＜m恒成立-------------------------（9分）
（3）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0
记g（x）=x-a+1-ln（1+x）²，则g′(x)=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

由g'（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由g'（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增  （11分）
为使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，
于是有{

g(0)≥0， g(1)＜0， g(2)≥0.

解得2-2ln2＜a≤3-2ln3--------（15分）

点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查函数的最值，同时考查了方程根的讨论．解决不等式恒成立求参数的范围，一般是将参数分离出来，通过构造函数，利用导数求出函数的单调性进一步求出函数的最值，得到参数的范围．