Question

已知椭圆C的对称轴为坐标轴，一个焦点为F（0，-

2

），点M（1，

2

）在椭圆C上
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l：2x-y-2=0与椭圆C交于A，B两点，求△MAB的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆的定义求出长轴长，利用条件b²=a²-c²求出b，则椭圆C的方程可求；
（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，解出交点，由点到直线距离公式求出三角形的高，则△MAB的面积可求．

解答：解：（Ⅰ）∵c=

2

，
∴2a=

(1-0)2+( 2 + 2 )2

+

(1-0)2+( 2 - 2 )2

=4，
∴a=2，b²=a²-c²=2，∴椭圆C的方程为

y2

4

+

x2

2

=1；
（Ⅱ）如图，

联立直线l与椭圆C的方程

2x-y-2=0 y2 4 + x2 2 =1

．
解得

x1=0 y1=-2

，

x2= 4 3 y2= 2 3

．
∴A（0，-2），B（

4

3

，

2

3

）．
|AB|=

( 4 3 -0)2+( 2 3 +2)2

=

4

3

5

．
点M（1，

2

）到直线l的距离为d=

|2- 2 -2|

22+(-1)2

=

10

5

，
S△MAB=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

4 5

3

×

10

5

=

2 2

3

．

点评：本题考查阿勒椭圆的定义及简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了三角形面积的求法，是中档题．