Question

已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两点，且|AB|=

16

5

2

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出椭圆长、短半轴长，根据已知条件列方程组，解出即可，注意焦点位置不确定；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），用直线方程与椭圆方程联立方程组，消y得关于x的一元二次方程，用韦达定理及弦长公式可得关于m的方程，解出即可；

解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的长半轴长为a（a＞0），短半轴长为b（b＞0），
则2b=4①，

a2-b2

a

=

3

2

②．                                              
联立①②，解得a=4，b=2．                                                      
因为椭圆C的对称轴为坐标轴，
所以椭圆C的方程为标准方程为

x2

16

+

y2

4

=1或

y2

16

+

x2

4

=1．        
（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程组

y=x+m y2 16 + x2 4 =1

，消去y，
得5x²+2mx+m²-16=0，
由题意，得△=（2m）²-20（m²-16）＞0，
且x1+x2=-

2m

5

，x1x2=

m2-16

5

，
因为|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+1

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

16

5

2

，
所以(-

2m

5

)2-

4(m2-16)

5

=(

16

5

)2，解得m=±2，
验证知△＞0成立，
所以直线l的方程为x-y+2=0或x-y-2=0．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆标准方程的求解，考查解析几何中常见公式如：弦长公式、韦达定理的应用，考查学生分析解决问题的能力．