Question

（本小题满分12分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是（单位:万元）．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位:万元）随投资收益（单位:万元）的增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过投资收益的20%．

（Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件；

（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：；．试分析这两个函数模型是否符合公司要求．

Answer 1

（Ⅰ）①当时，是增函数；②当时，恒成立；③当时，恒成立; （Ⅱ）模型符合公司要求

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意函数应是增函数，且定义域为，；

（Ⅱ）对两个函数模型逐个按（1）中条件进行检验即可.

试题解析：（Ⅰ）设奖励函数模型为，则该函数模型满足的条件是：

①当时，是增函数；

②当时，恒成立；

③当时，恒成立． 5分

（Ⅱ）（1）对于函数模型，它在上是增函数，满足条件①；

但当时，，因此，当时，，不满足条件②；

故该函数模型不符合公司要求． 7分

（2）对于函数模型，它在上是增函数．满足条件①

时，即恒成立．满足条件② 9分

设，则，又

，所以在上是递减的，因此

，即恒成立．满足条件③

故该函数模型符合公司要求

综上所述，函数模型符合公司要求． 12分

考点：函数建模、导数与函数单调性、定义域、值域.