Question

设椭圆过点，且左焦点为

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ)当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足。证明：点Q总在某定直线上。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意：

    解得：

所求的椭圆方程为   

（Ⅱ） 方法一：

设点Q、A、B的坐标分别为（x, y）、（）、（）

由题设知均不为零，记，

则。

又    A，P，B，Q四点共线，从而

于是，，，

从而，…①；…②

又点A，B在椭圆C上，即…③；…④

①+2并结合③、④得：4x+2y=4，即点Q（x, y）总在定直线2x+y-2=0上。

方法二：

设点Q、A、B的坐标分别为（x, y）、（）、（）

由题设知均不为零，，

又    A，P，B，Q四点共线，可设，于是

，，…①；，…②

由于A（），B（）在椭圆C上，将①、②分别代入C的方程，整理得：

…③

…④

④-③得：8（2x+y-2）=0，∵，∴

即点Q（x, y）总在定直线2x+y-2=0上。